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Webメルカトルと世界座標

Webメルカトルは、多くのWeb地図で使われる投影法です。経度は横方向へほぼ線形に対応し、緯度は北極・南極に近づくほど大きく引き伸ばされます。wplaceのURLは緯度経度で地点を表しますが、作業上は「地図画像上の何px目か」のほうが扱いやすいため、ピクセル座標へ変換します。

rc-toolsでは、内部計算用のズームを 9 に固定しています。1チャンクを 4000px とみなし、世界全体の幅を SCALE = 4000 * 2^9 = 2048000px として扱います。

緯度を lat、経度を lng、sinLat = sin(lat * PI / 180) とすると、世界座標は次の式で求めます。

worldX = ((lng + 180) / 360) * SCALE
worldY = (0.5 - log((1 + sinLat) / (1 - sinLat)) / (4 * PI)) * SCALE

逆に世界座標から緯度経度へ戻すときは、lng = (worldX / SCALE) * 360 - 180 を使い、y方向はメルカトルの逆変換で緯度へ戻します。経度が180度を超えた場合は、-180度から180度の範囲へ正規化します。

チャンク座標・タイル座標・ローカル座標

世界座標は大きな連続座標なので、そのままだと作業者同士で共有しにくい値になります。そこでrc-toolsでは、世界座標を一定サイズで区切り、どの区画の中の何px目かとして表示します。

チャンク座標は 4000px 単位です。chunkX = floor(worldX / 4000)、chunkY = floor(worldY / 4000) とし、チャンク内座標は worldX や worldY を4000で割った余りです。

タイル座標は 1000px 単位です。考え方は同じで、1000で割った区画番号と、その区画内のローカル座標に分けます。実装では負方向の余りにも対応できるよう、((px % modSize) + modSize) % modSize の形で余りを正規化しています。

地図座標と世界座標を変換できる理由

道路地図は、wplace上の一部範囲を別の縮尺で切り出した地図として扱えます。つまり、地図上の点と現地の点の間には、原点のずれと縮尺差を使った対応関係があります。

rc-toolsでは、道路地図側の左上原点を基準点として持ち、道路地図の1チャンクを 13 として扱います。内部ズーム9なので、道路地図側の幅は MAP_SCALE = 13 * 2^9 = 6656px です。現地の世界全体は 2048000px なので、比率は SCALE / MAP_SCALE になります。

地図URLから現地URLへ変換するときは、地図上の世界座標から道路地図原点を引き、その差分を SCALE / MAP_SCALE 倍して現地側の世界座標にします。ピクセルの左上ではなく中心を対応させるため、差分には 0.5px を足してから拡大します。

厳密には、緯度経度をWebメルカトルの世界座標へ落とし込んでから計算しています。経度0地点は世界幅の中央にあり、スクリーン座標系では世界座標とローカル座標の間隔は一定です。そのため、x方向・y方向に0.5pxずらして中心を合わせても、地点間の距離やチャンク内の間隔そのものは変わりません。

まずURLから lat と lng を取り出します。どちらかが存在しない、または数値として読めない場合は、URL解析エラーになります。

次に、共通関数で緯度経度を世界座標へ変換します。世界座標は小数を含む値ですが、表示用の世界座標は floor で整数化します。チャンク座標とタイル座標は、同じ世界座標を 4000 または 1000 で区切って求めます。

チャンク表示の形は [chunkX, chunkY] (localX, localY) です。前半がどのチャンクか、後半がそのチャンク内の位置です。道路作業では、巨大な世界座標よりもこちらのほうが共有しやすくなります。

地図から現地へ変換する流れ

入力URLの緯度経度を道路地図側の世界座標に変換します。次に、その点が道路地図の左上原点からどれだけ離れているかを求めます。x方向は日付変更線付近で連続性が切れやすいため、地図原点より左側に見える場合は MAP_SCALE を足して、同じ地図上の連続した位置として扱います。

差分は shiftedX - ORIGIN.worldX と mapWorldY - ORIGIN.worldY です。ここへピクセル中心補正の 0.5 を足し、SCALE / MAP_SCALE 倍して現地側の世界座標を作ります。

最後に、その現地側の世界座標を緯度経度へ戻し、https://wplace.live/?lat=...&lng=...&zoom=... のURLとして出力します。

現地から道路地図へ戻す流れ

現地URLを世界座標に変換したあと、今度は縮小方向に変換します。bx = floor(worldX * MAP_SCALE / SCALE)、by = floor(worldY * MAP_SCALE / SCALE) として、現地側の位置を道路地図側のスケールへ縮めます。

その後、道路地図の原点を足し直して、道路地図上の世界座標に戻します。ただし、道路地図は日付変更線やインド付近の分岐をまたぐため、x方向には候補が1つまたは2つあります。実装では、インド西端・東端に相当する世界座標を境に、右側候補、左側候補、または両方を返します。

候補ごとに緯度経度へ戻し、道路地図の緯度範囲に入っているものだけを出力します。範囲外の場合は「入力座標は道路地図に対応しません」という扱いになります。

始点と終点を世界座標へ変換し、x方向の差分 dx とy方向の差分 dy を求めます。目的の傾きは m = dy / dx です。

ただし、任意の小数傾きは作業しにくいため、rc-toolsでは使いやすい傾きセットを用意しています。候補は 1/20 から 1/2、1、2 から 20 までです。

目的の傾きに最も近い候補を探し、ぴったりでなければ目的傾きを挟む2つの傾き a と b を使います。x方向の距離を Na と Nb に分け、a * Na + b * Nb が dy に近くなるようにします。

自動モードでは、傾き a を先に使う場合と、傾き b を先に使う場合の両方を試し、計画上の終点が本来の終点に近い方を採用します。詳細欄には、各区間の距離、世界座標、チャンク座標、終点誤差が出ます。